Laboratorio sulle trecce

Destinatari

Classi IV-V superiore. Non ci sono particolari prerequisiti ma è necessaria una certa maturità.

Contenuti

Qualche nozione intuitiva di topologia, nozione di gruppo, gruppi non commutativi, azione di un gruppo su un insieme.

Materiale

Una treccia in acciaio grande, una treccia piccola, alcuni disegni di curve nel piano, cordicelle, un supporto per intrecciare gommini calamitati alle estremità, due piccole trecce elementari, un piano con tre perni.
Schede didattiche.

Descrizione

Si parte da un problema concreto: come bisogna mettere una cordicella attorno alle estremità superiori dei fili di una treccia per ottenere una curva disegnata alla base della treccia?
Il primo approccio consiste in tentativi pratici, che mostrano che il problema non è per niente banale.
Si cerca quindi una definizione di treccia, accorgendosi che le proprietà delle trecce vengono descritte bene in termini topologici, e un modo per descrivere le trecce tramite sequenze di simboli.
Si compie il passaggio dalla topologia all'algebra, notando che l'insieme delle trecce, dotato dell'operazione di composizione, è un gruppo.
Si può ora seguire un procedimento analogo per descrivere le curve nel piano meno tre punti, corrispondenti ai fili della treccia. Anche le curve vengono trattate come oggetti topologici e si possono descrivere tramite sequenze di simboli.
Si osserva che la treccia agisce su ogni curva “in alto” trasformandola in una curva “in basso”.
Facendo i conti nel gruppo treccia (non commutativo) si può scrivere l'azione di una treccia su una curva e risolvere il problema inverso: data una treccia T e una curva C, qual è la curva che viene mandata in C da T?

Materiali disponibili in rete

Contenuti del laboratorio in pdf

Bibliografia

Trecce e crittografia (in francese)
Colin Adams, The knot book: an elementary introduction to the mathematical theory of knots, 1994. (in inglese)

Proposto a

La bottega del matematico, Salorno, marzo 2011.
La bottega del matematico, Salorno, marzo 2012.

Realizzazione

Ester Dalvit e Domenico Luminati