Il percorso virtuale | |
Questo CD raccoglie le esperienze virtuali proposte nella mostra
matetrentino; come la mostra, può essere esplorato semplicemente come
una successione di inviti ad affrontare stimolanti questioni di
matematica o a "fare esperienza" di matematica, ma può anche essere
letto come un percorso guidato in un terreno ricco di fatti matematici
esposti secondo un filo conduttore ben delineato. Questa presentazione intende portare in evidenza l'unità concettuale sottesa (all'esposizione, e di riflesso in questo CD) e si propone come guida a una lettura non frettolosa del percorso virtuale del quale descrive, sezione per sezione, le diverse animazioni. Capita a tutti di cercare la via più breve per andare da un posto a un altro o di voler spendere il meno possibile per gli acquisti: la vita quotidiana è una continua ricerca del minimo sforzo per ottenere il massimo risultato. Questa ricerca assume particolare rilevanza in ambito scientifico e tecnologico, dove spesso i modelli usati per descrivere fenomeni e progettare strutture si basano su principi variazionali, ossia di massimo o di minimo. Nella sezione massimi e minimi vengono proposti ed illustrati alcuni di questi problemi riguardanti le misure di lunghezza, area e volume di varie figure geometriche. Se si va Verso il quadrato ci si può rendere conto del fatto che, fra tutti i rettangoli della stessa area, quello di perimetro minore è appunto il quadrato. Andando Verso i poligoni regolari, si possono condurre esperimenti virtuali per convincersi che, più in generale, fra tutti i poligoni con un fissato numero di lati e la medesima area, quello regolare ha il perimetro minore. Cosa succede se si aumenta indefinitamente il numeri di lati? Arrotondando... si scopre che fra tutte le figure piane di area assegnata il cerchio ha il perimetro minore oppure, equivalentemente, che tra tutte le figure piane di perimetro assegnato il cerchio ha l'area maggiore. Questa caratteristica del cerchio, che un matematico chiamerebbe proprietà isoperimetrica, può servire a dare un'interpretazione del fatto che molte città hanno una forma approssimativamente circolare, come dovrebbe teoricamente essere al fine di racchiudere il maggior spazio per lo sviluppo urbano nel modo meglio difendibile, ossia rendendo minima la parte esposta a possibili aggressioni esterne. Se alle figure piane si sostituiscono oggetti tridimensionali, ci si può chiedere quale forma abbia il solido che a parità di volume ha la minor superficie esterna o, in modo equivalente, quale sia la figura di area esterna assegnata che ha il maggior volume. Verso la sfera ci fa intuire la risposta a questa domanda. Un secondo gruppo di animazioni illustra alcune questioni sui percorsi di lunghezza minima nel piano. Per cominciare, si può affrontare Il problema di Erone: qual è il tragitto più breve per andare da un punto ad un altro, toccando una retta fissata? La sua soluzione permette d'inquadrare in un contesto variazionale i fenomeni di riflessione dei raggi luminosi e i rimbalzi di una palla da biliardo. Ci si può poi chiedere: qual è la rete stradale più breve che collega un certo numero di città? Come si può costruire una rete telefonica che sia la più breve possibile? Può sembrare strano, ma già trovare La rete minima fra tre punti non è affatto un compito facile: bisogna dare la Caccia al punto di Steiner! Quando i punti sono quattro, come nel caso dei vertici di un quadrato, la cosa si fa ancora più difficile e per trovare il percorso più breve bisogna cercare Tra la X e la H. L'ultimo gruppo di animazioni riguarda l'analogo in dimensione maggiore del problema precedente: qual è la superficie di area minima che si appoggia ad un fissato contorno? Le soluzioni di questo problema appartengono a una categoria di superfici molto speciali, che i matematici chiamano superfici minime, e sono solitamente usate per descrivere le lamine che si formano estraendo un telaio metallico dall'acqua saponata. Già con un telaio costituito da due anelli paralleli, i fenomeni che si presentano sono alquanto complessi: la forma delle soluzioni cambia radicalmente a seconda della distanza tra gli anelli. Se gli anelli sono abbastanza vicini fra loro, si ottiene quella che forse è la più famosa delle superfici minime: La catenoide. Con telai diversi si possono ottenere superfici dalle forme stravaganti, come La cuffia o come l'elicoide. Quest'ultima superficie, che ricorda una scala a chiocciola, è apparentemente molto diversa dalla catenoide ma è ad essa intimamente legata, tanto che viene da chiedersi se sia Catenoide o elicoide? Contrariamente a quanto si potrebbe pensare, le lamine di sapone che spesso si osservano non sono lisce ma presentano spigoli ed angoli o, come direbbe un matematico, singolarità. Una descrizione di questo fenomeno si può trovare nelle ultime due animazione di questa sezione e che riguardano La singolarità delle lamine di sapone. È possibile, data soltanto una rappresentazione piana e in mancanza di altre informazioni, ricostruire con sicurezza l'ambiente tridimensionale di cui si tratta? Quali difficoltà sorgono quando ci si propone di ricostruire un oggetto reale a partire da una sua immagine? La sezione visualizzazione è dedicata a rispondere a queste domande e a mostrare con vari esperimenti come la sola visione non sia sufficiente per ricostruire gli oggetti di partenza. Il primo esperimento di questa sezione permette al visitatore di librarsi In volo in un dipinto, entrando nella scena di una possibile ricostruzione tridimensionale dell’ambiente architettonico rappresentato in un dipinto di Giovanni Maria Falconetto, ora conservato nella chiesa di S. Maria Maggiore ma che in origine ornava l'organo del duomo di Trento. Si possono anche esplorare le geometrie essenziali di questa ricostruzione visitandone la versione wireframe. Negli esperimenti virtuali matetrentino 1 e matetrentino 2 abbiamo "giocato" con il logo della mostra: in prima battuta il logo si immagina "piatto", disegnato su un foglio di carta, ma ci sono in realtà infinite altre forme, tridimensionali, che, viste da un opportuno punto di vista, potrebbero apparire come questo logo. Ci sono situazioni in cui non hanno importanza né la forma o le dimensioni di un oggetto, né la lunghezza di un itinerario, ma solo fattori in un certo senso più “di base”, proprietà degli oggetti che non cambierebbero anche se questi fossero fatti di gomma e li si potesse distorcere a piacere (senza romperli). La disciplina che se ne occupa è la topologia e le animazioni della terza sezione si propongono di dare un’idea di che cosa ciò significhi in due ambiti apparentemente molto lontani fra loro: uno relativo ai nodi e un altro ai grafi e alle superfici.
Quanto al primo ambito, facendo un nodo con una corda e poi unendone i
due capi lo si “fissa” in qualcosa che non si può
più sciogliere (a meno di non aver fatto un “finto
nodo” a cui, manipolandolo, si può dare la
forma di una circonferenza). Se non abbiamo a
disposizione un nodo concreto, ma soltanto un suo disegno, ad esempio sullo schermo di un
computer, quello che vediamo è una curva che si attorciglia e
che in certi punti si incrocia: in questi punti il disegno ci fa
capire come sarebbe possibile ricostruire fisicamente il nodo con una corda,
indicando quale ramo deve passare sopra e quale sotto. In Snodi e colori:
disegna il tuo nodo si può cominciare a
“familiarizzare” con i nodi: si può giocare in
libertà, cercando semplicemente di costruire delle
“figure belle”, oppure si può cercare di
“controllare” ciò che si sta facendo
e capire che mosse occorre fare per raggiungere un predeterminato
scopo.
Il tema centrale del secondo ambito si rifà ad un classico problema di teoria dei grafi, noto come problema delle tre case. In
Percorsi senza
incroci
si chiede di collegare tre punti (che potrebbero rappresentare tre case)
con altri tre punti, tracciando dei percorsi
che non s’incrociano. Questo problema è proposto in quattro
versioni: la prima riproduce la “normale” situazione del disegno su un foglio di carta,
mentre le altre prevedono che si possa uscire da
un lato del foglio per rientrarvi dal lato opposto rispettando indicazioni ben precise
e fissate (per esempio rientrando alla stessa altezza). Sul
lato destro dell’animazione si può osservare come l’imporre queste “regole” corrisponda ad affrontare il
problema non più sul piano, ma su superfici diverse (la
superficie di un toro, di un cilindro o di un nastro
di Möbius). In realtà non tutti questi problemi sono
risolubili: sul piano e sul cilindro il problema non ha soluzione e il motivo risiede essenzialmente
nel fatto che sul piano e sul cilindro (e anche sulla sfera) qualunque
curva chiusa (cioè che ritorna al punto di partenza) e semplice
(cioè senza autointersezioni) divide la superficie in due
parti. L’animazione Tagliare una
superficie
illustra questo fatto e come invece ciò non sia vero nel caso del toro e del nastro di Möbius, su
cui in effetti il problema delle tre case ha soluzione. Una chiave di lettura fondamentale che si usa continuamente (in maniera più o meno consapevole) per interpretare i messaggi più disparati che provengono dal mondo circostante è quella della simmetria. La quarta sezione si propone di mettere in luce la simmetria (ma anche la rottura di simmetria!) e le animazioni proposte aiutano a riconoscerne i diversi tipi. Una prima esperienza virtuale permette di visitare una Galleria di immagini e, attraverso questa visita, di farsi un’idea di come si possano classificare le figure in base al loro tipo di simmetria. Nella galleria, ogni riga contiene tre immagini, precedute da un simbolo che sta a indicare il gruppo di simmetria comune alle tre figure: cliccando su una di esse, la si può vedere in grande e nel suo contesto; cliccando sul simbolo del gruppo, si può vedere un’animazione che dà un’idea della struttura del gruppo. Alcune pagine ipertestuali illustrano le diverse possibilità: i Rosoni, cioè le figure che non sono mandate in se stesse da nessuna traslazione (la figura è mandata in se stessa solo da rotazioni, nel caso dei rosoni ciclici, oppure da rotazioni e riflessioni, nel caso dei rosoni diedrali); i Fregi, cioè le figure per le quali c’è una tale traslazione, e ogni altra traslazione che fissa il disegno si ottiene iterando una traslazione-base (i possibili tipi di simmetria dei fregi sono esattamente sette e si differenziano sulla base di quali altre trasformazioni - oltre alle traslazioni - fissano la figura); e infine i Mosaici, cioè le figure per le quali ci sono più traslazioni, in direzioni diverse, che fissano il disegno: in questo caso le possibilità sono esattamente 17. Il visitatore può poi provare a Costruire il proprio fregio: un’animazione interattiva permette infatti di scegliere uno dei sette tipi di simmetria (ossia dei sette diversi possibili schemi con cui la figura si ripete) e di disporre poi alcune forme in una particolare regione dello schermo, ottenendo un fregio che ripete le forme prescelte secondo lo schema che si è fissato. Fra le forme a disposizione, c’è anche un piede: si possono quindi costruire sette possibili modi di “camminare secondo i sette diversi fregi”. Con analoghe modalità si può Costruire il proprio mosaico: in questo caso si dispone di una camera di specchi virtuale, che si può scegliere fra le diverse forme possibili; ponendo nella camera alcuni dei poligoni a disposizione, si ottengono dei mosaici… anche se occorre osservare che non tutti i 17 tipi di mosaico si possono ottenere in questo modo. Infine, il visitatore è invitato a Riconoscere un fregio: si tratta di confrontare la fotografia che appare sullo schermo con i sette tipi di fregio (visibili in uno schema) e di capire qual è il tipo di simmetria della foto; per fare ciò, si hanno a disposizione dei bottoni che permettono di visualizzare l’effetto sulla fotografia di alcune trasformazioni. In questo modo si può capire quali trasformazioni fissano il disegno e individuarne il tipo di simmetria. Allo stesso modo si può provare a Riconoscere un mosaico: questa volta la fotografia della quale individuare il tipo di simmetria è la foto di un mosaico e sono a disposizione i 17 esempi di riferimento; opportuni "suggerimenti" che compaiono a seguito di un tentativo errato possono mettere sulla strada giusta per il tentativo seguente. |
|
Indietro |