Il percorso virtuale

Questo CD raccoglie le esperienze virtuali proposte nella mostra matetrentino; come la mostra, può essere esplorato semplicemente come una successione di inviti ad affrontare stimolanti questioni di matematica o a "fare esperienza" di matematica, ma può anche essere letto come un percorso guidato in un terreno ricco di fatti matematici esposti secondo un filo conduttore ben delineato.

Questa presentazione intende portare in evidenza l'unità concettuale sottesa (all'esposizione, e di riflesso in questo CD) e si propone come guida a una lettura non frettolosa del percorso virtuale del quale descrive, sezione per sezione, le diverse animazioni.


 Capita a tutti di cercare la via più breve per andare da un posto a un altro o di voler spendere il meno possibile per gli acquisti: la vita quotidiana è una continua ricerca del minimo sforzo per ottenere il massimo risultato. Questa ricerca assume particolare rilevanza in ambito scientifico e tecnologico, dove spesso i modelli usati per descrivere fenomeni e progettare strutture si basano su principi variazionali, ossia di massimo o di minimo. Nella sezione massimi e minimi vengono proposti ed illustrati alcuni di questi problemi riguardanti le misure di lunghezza, area e volume di varie figure geometriche.

Se si va  Verso il quadrato ci si può rendere conto del fatto che, fra tutti i rettangoli della stessa area, quello di perimetro minore è appunto il quadrato. Andando  Verso i poligoni regolari, si possono condurre esperimenti virtuali per convincersi che, più in generale, fra tutti i poligoni con un fissato numero di lati e la medesima area, quello regolare ha il perimetro minore.
Cosa succede se si aumenta indefinitamente il numeri di lati?  Arrotondando... si scopre che fra tutte le figure piane di area assegnata il cerchio ha il perimetro minore oppure, equivalentemente, che tra tutte le figure piane di perimetro assegnato il cerchio ha l'area maggiore. Questa caratteristica del cerchio, che un matematico chiamerebbe proprietà isoperimetrica, può servire a dare un'interpretazione del fatto che molte città hanno una forma approssimativamente circolare, come dovrebbe teoricamente essere al fine di racchiudere il maggior spazio per lo sviluppo urbano nel modo meglio difendibile, ossia rendendo minima la parte esposta a possibili aggressioni esterne.
Se alle figure piane si sostituiscono oggetti tridimensionali, ci si può chiedere quale forma abbia il solido che a parità di volume ha la minor superficie esterna o, in modo equivalente, quale sia la figura di area esterna assegnata che ha il maggior volume.  Verso la sfera ci fa intuire la risposta a questa domanda.

Un secondo gruppo di animazioni illustra alcune questioni sui percorsi di lunghezza minima nel piano.
Per cominciare, si può affrontare  Il problema di Erone: qual è il tragitto più breve per andare da un punto ad un altro, toccando una retta fissata? La sua soluzione permette d'inquadrare in un contesto variazionale i fenomeni di riflessione dei raggi luminosi e i rimbalzi di una palla da biliardo.
Ci si può poi chiedere: qual è la rete stradale più breve che collega un certo numero di città? Come si può costruire una rete telefonica che sia la più breve possibile? Può sembrare strano, ma già trovare  La rete minima fra tre punti non è affatto un compito facile: bisogna dare la  Caccia al punto di Steiner!
Quando i punti sono quattro, come nel caso dei vertici di un quadrato, la cosa si fa ancora più difficile e per trovare il percorso più breve bisogna cercare  Tra la X e la H.

L'ultimo gruppo di animazioni riguarda l'analogo in dimensione maggiore del problema precedente: qual è la superficie di area minima che si appoggia ad un fissato contorno? Le soluzioni di questo problema appartengono a una categoria di superfici molto speciali, che i matematici chiamano superfici minime, e sono solitamente usate per descrivere le lamine che si formano estraendo un telaio metallico dall'acqua saponata. Già con un telaio costituito da due anelli paralleli, i fenomeni che si presentano sono alquanto complessi: la forma delle soluzioni cambia radicalmente a seconda della distanza tra gli anelli. Se gli anelli sono abbastanza vicini fra loro, si ottiene quella che forse è la più famosa delle superfici minime:  La catenoide. Con telai diversi si possono ottenere superfici dalle forme stravaganti, come  La cuffia o come l'elicoide. Quest'ultima superficie, che ricorda una scala a chiocciola, è apparentemente molto diversa dalla catenoide ma è ad essa intimamente legata, tanto che viene da chiedersi se sia  Catenoide o elicoide? Contrariamente a quanto si potrebbe pensare, le lamine di sapone che spesso si osservano non sono lisce ma presentano spigoli ed angoli o, come direbbe un matematico, singolarità. Una descrizione di questo fenomeno si può trovare nelle ultime due animazione di questa sezione e che riguardano  La singolarità delle lamine di sapone.


 È possibile, data soltanto una rappresentazione piana e in mancanza di altre informazioni, ricostruire con sicurezza l'ambiente tridimensionale di cui si tratta? Quali difficoltà sorgono quando ci si propone di ricostruire un oggetto reale a partire da una sua immagine? La sezione visualizzazione è dedicata a rispondere a queste domande e a mostrare con vari esperimenti come la sola visione non sia sufficiente per ricostruire gli oggetti di partenza.
Il primo esperimento di questa sezione permette al visitatore di librarsi  In volo in un dipinto, entrando nella scena di una possibile ricostruzione tridimensionale dell’ambiente architettonico rappresentato in un dipinto di Giovanni Maria Falconetto, ora conservato nella chiesa di S. Maria Maggiore ma che in origine ornava l'organo del duomo di Trento.
Si possono anche esplorare le geometrie essenziali di questa ricostruzione visitandone la  versione wireframe.
Negli esperimenti virtuali  matetrentino 1 e  matetrentino 2 abbiamo "giocato" con il logo della mostra: in prima battuta il logo si immagina "piatto", disegnato su un foglio di carta, ma ci sono in realtà infinite altre forme, tridimensionali, che, viste da un opportuno punto di vista, potrebbero apparire come questo logo.


 Ci sono situazioni in cui non hanno importanza né la forma o le dimensioni di un oggetto, né la lunghezza di un itinerario, ma solo fattori in un certo senso più “di base”, proprietà degli oggetti che non cambierebbero anche se questi fossero fatti di gomma e li si potesse distorcere a piacere (senza romperli). La disciplina che se ne occupa è la topologia e le animazioni della terza sezione si propongono di dare un’idea di che cosa ciò significhi in due ambiti apparentemente molto lontani fra loro: uno relativo ai nodi e un altro ai grafi e alle superfici.

Quanto al primo ambito, facendo un nodo con una corda e poi unendone i due capi lo si “fissa” in qualcosa che non si può più sciogliere (a meno di non aver fatto un “finto nodo” a cui, manipolandolo, si può dare la forma di una circonferenza). Se non abbiamo a disposizione un nodo concreto, ma soltanto un suo disegno, ad esempio sullo schermo di un computer, quello che vediamo è una curva che si attorciglia e che in certi punti si incrocia: in questi punti il disegno ci fa capire come sarebbe possibile ricostruire fisicamente il nodo con una corda, indicando quale ramo deve passare sopra e quale sotto. In  Snodi e colori: disegna il tuo nodo si può cominciare a “familiarizzare” con i nodi: si può giocare in libertà, cercando semplicemente di costruire delle “figure belle”, oppure si può cercare di “controllare” ciò che si sta facendo e capire che mosse occorre fare per raggiungere un predeterminato scopo.
Se a Trento si parla di nodi, non si può fare a meno di ricordare lo stupendo nodo che allaccia le quattro colonnine del transetto del duomo.  Nido di nodi dà la possibilità di “catturare” questo nodo “chiudendo” le colonnine. Ma ora, diversamente da quanto succede con i nodi fatti su una sola cordicella, che si possono fissare in un unico modo unendone i due capi, le possibilità sono tante e consentono di catturare nodi molto diversi l’uno dall’altro.
Un nodo compare anche nello stemma di un’antica famiglia trentina, dove è presente un leone con la coda intrecciata a forma di nodo d'amore (o nodo Savoia) che, una volta chiuso, i matematici chiamano nodo a otto. Ma non sempre il nodo dello stemma è rappresentato nel modo corretto: a volte viene scambiato un ramo che passa sopra con uno che passa sotto… e questo basta a produrre nodi completamente diversi, come si può sperimentare nell’animazione  Vero o finto?
Un’altra animazione,  Anelli borromei, mostra una possibile genesi, forse inaspettata, degli anelli borromei, un nodo a tre componenti con una caratteristica bizzarra: se consideriamo soltanto due di queste componenti esse sono slacciate mentre dal blocco delle tre non si può sfilare nessuna componente.
Nell’animazione  Due numeri per un nodo si può scoprire una particolare famiglia di nodi (i nodi torici) che è possibile descrivere completamente attraverso due numeri interi. La famiglia comprende anche alcuni semplici nodi (come ad esempio il nodo trifoglio, il nodo a due componenti formato da due anelli legati a catena e il cosiddetto nodo di Salomone) che si possono ottenere giocherellando con questa animazione.

Il tema centrale del secondo ambito si rifà ad un classico problema di teoria dei grafi, noto come problema delle tre case. In  Percorsi senza incroci si chiede di collegare tre punti (che potrebbero rappresentare tre case) con altri tre punti, tracciando dei percorsi che non s’incrociano. Questo problema è proposto in quattro versioni: la prima riproduce la “normale” situazione del disegno su un foglio di carta, mentre le altre prevedono che si possa uscire da un lato del foglio per rientrarvi dal lato opposto rispettando indicazioni ben precise e fissate (per esempio rientrando alla stessa altezza). Sul lato destro dell’animazione si può osservare come l’imporre queste “regole” corrisponda ad affrontare il problema non più sul piano, ma su superfici diverse (la superficie di un toro, di un cilindro o di un nastro di Möbius). In realtà non tutti questi problemi sono risolubili: sul piano e sul cilindro il problema non ha soluzione e il motivo risiede essenzialmente nel fatto che sul piano e sul cilindro (e anche sulla sfera) qualunque curva chiusa (cioè che ritorna al punto di partenza) e semplice (cioè senza autointersezioni) divide la superficie in due parti. L’animazione  Tagliare una superficie illustra questo fatto e come invece ciò non sia vero nel caso del toro e del nastro di Möbius, su cui in effetti il problema delle tre case ha soluzione.
Un’ultima animazione  Dal rettangolo a… ci fa vedere concretamente per quale motivo le regole fissate in Percorsi senza incroci corrispondano proprio ad affrontare il problema su una superficie diversa dal piano.



  Una chiave di lettura fondamentale che si usa continuamente (in maniera più o meno consapevole) per interpretare i messaggi più disparati che provengono dal mondo circostante è quella della simmetria. La quarta sezione si propone di mettere in luce la simmetria (ma anche la rottura di simmetria!) e le animazioni proposte aiutano a riconoscerne i diversi tipi. Una prima esperienza virtuale permette di visitare una  Galleria di immagini e, attraverso questa visita, di farsi un’idea di come si possano classificare le figure in base al loro tipo di simmetria. Nella galleria, ogni riga contiene tre immagini, precedute da un simbolo che sta a indicare il gruppo di simmetria comune alle tre figure: cliccando su una di esse, la si può vedere in grande e nel suo contesto; cliccando sul simbolo del gruppo, si può vedere un’animazione che dà un’idea della struttura del gruppo. Alcune pagine ipertestuali illustrano le diverse possibilità: i  Rosoni, cioè le figure che non sono mandate in se stesse da nessuna traslazione (la figura è mandata in se stessa solo da rotazioni, nel caso dei rosoni ciclici, oppure da rotazioni e riflessioni, nel caso dei rosoni diedrali); i  Fregi, cioè le figure per le quali c’è una tale traslazione, e ogni altra traslazione che fissa il disegno si ottiene iterando una traslazione-base (i possibili tipi di simmetria dei fregi sono esattamente sette e si differenziano sulla base di quali altre trasformazioni - oltre alle traslazioni - fissano la figura); e infine i  Mosaici, cioè le figure per le quali ci sono più traslazioni, in direzioni diverse, che fissano il disegno: in questo caso le possibilità sono esattamente 17.
Il visitatore può poi provare a  Costruire il proprio fregio: un’animazione interattiva permette infatti di scegliere uno dei sette tipi di simmetria (ossia dei sette diversi possibili schemi con cui la figura si ripete) e di disporre poi alcune forme in una particolare regione dello schermo, ottenendo un fregio che ripete le forme prescelte secondo lo schema che si è fissato. Fra le forme a disposizione, c’è anche un piede: si possono quindi costruire sette possibili modi di “camminare secondo i sette diversi fregi”. Con analoghe modalità si può  Costruire il proprio mosaico: in questo caso si dispone di una camera di specchi virtuale, che si può scegliere fra le diverse forme possibili; ponendo nella camera alcuni dei poligoni a disposizione, si ottengono dei mosaici… anche se occorre osservare che non tutti i 17 tipi di mosaico si possono ottenere in questo modo. Infine, il visitatore è invitato a  Riconoscere un fregio: si tratta di confrontare la fotografia che appare sullo schermo con i sette tipi di fregio (visibili in uno schema) e di capire qual è il tipo di simmetria della foto; per fare ciò, si hanno a disposizione dei bottoni che permettono di visualizzare l’effetto sulla fotografia di alcune trasformazioni. In questo modo si può capire quali trasformazioni fissano il disegno e individuarne il tipo di simmetria. Allo stesso modo si può provare a  Riconoscere un mosaico: questa volta la fotografia della quale individuare il tipo di simmetria è la foto di un mosaico e sono a disposizione i 17 esempi di riferimento; opportuni "suggerimenti" che compaiono a seguito di un tentativo errato possono mettere sulla strada giusta per il tentativo seguente.


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