Laboratorio di logica:

Destinatari

Classi quarte e quinte superiori.
Durata: circa 2 ore la parte sui sistemi deduttivi; da 2 a 8 ore la parte sulle cardinalità infinite.

Contenuti

Cardinalità infinite: visualizzazione e idea intuitiva di infinito, concetto di cardinalità, biiezioni all'interno dei numeri naturali (giochi con l'albergo di Hilbert), non numerabilità dei numeri reali.
Sistemi deduttivi: significato di assiomi, teoremi, dimostrazioni, completezza e coerenza, teorema di incompletezza.

Materiale

Cardinalità infinite: poster, specchi e palline, schede di laboratorio.
Sistemi deduttivi: poster, vari mazzi di carte M, I, U plastificate, carte M, I, U magnetiche, schede di laboratorio.

Descrizione

Il laboratorio è diviso in due parti, con due attività distinte. Esse possono essere proposte in maniera del tutto indipendente.
La prima attività permette di prendere confidenza con gli infiniti: si parte con delle esperienze concrete per avere delle immagini che diano l‘idea di infinito e per collegarsi a conoscenze già in possesso dei ragazzi. In questa fase dovrebbero nascere delle domande sugli affascinanti “paradossi” degli insiemi infiniti, che servono come motivazione per approfondire le questioni. Viene proposta la storia dell‘albergo con infinite stanze, per arrivare a formalizzare le biiezioni tra numeri naturali e alcuni sottoinsiemi propri. Tramite un gioco si arriva infine a dimostrare che i numeri reali “sono di più” dei numeri naturali, benché entrambi siano insiemi infiniti.
Nella seconda attività si trattano i sistemi logico-deduttivi, attraverso un gioco che richiede di manipolare simboli secondo alcune semplici regole. Lo scopo è capire che una teoria parte da alcuni assiomi e, utilizzando delle regole di deduzione logica, costruisce teoremi. Non tutte le asserzioni sono teoremi, cioè vi sono delle asserzioni false e anche asserzioni non dimostrabili né confutabili. Si potrà poi parlare di completezza e coerenza del sistema, usando delle piccole variazioni sulle regole iniziali.

Realizzazione

Stefano Baratella e Domenico Luminati. Ampliamento di Ester Dalvit.
Il laboratorio originale, della durata complessiva di 2 ore, è stato realizzato per completare la visita delle classi alla mostra Il secolo di Gödel, curata da Karl Sigmund e allestita presso la Biblioteca comunale di Trento nel mese di ottobre 2008, ma può essere proposto anche in modo autonomo.
Il laboratorio sulle cardinalità infinite, ampliato a circa 4-6 ore, è stato sperimentato in alcune classi IV e V superiori nell'anno scolastico 2012-2013.

Bibliografia

Gabriele Lolli, Nel segno di Gödel
Giovanni Prodi, Analisi Matematica 1 (capitolo 0)
Lucio Lombardo Radice, Infinito
Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante