Tresses

Le film consiste en quatre chapitres de environ 15 minutes chacun. Un long résumé est disponible en Italien et en Anglais.

Dans le premiere chapitre on formalise les tresses comme objets topologiques et algébriques. On présente des propriétés des tresses et une manière pour les décrire, la presentation de Artin du groupe des tresses.

Dans le seconde chapitre on considére le problème si deux tresses sont equivalentes, c’est-à-dire si on peut passer de l’une à l’autre par une déformation sans qu’un brin ne passe à travers l’autre. Ce problème peut être formulé sur le mots, expressions algébriques qui décrivent les tresses. Il existe des algorithmes pour résoudre le problème. On présent deux algorithmes: le peignage de Artin et la réduction des poignées de Dehornoy et on compare leur complexité.

Dans le troisième chapitre on considére des relations entre les nœuds et les tresses. On peut passer d'une tresse à un nœud en attachant les extrêmités de brins. Mais vice versa? Il y a aussi une façon de passer d'un nœud à une tresse, donnée par un algorithme due à Alexander. On présente ce algorithme. Le théorème de Markov dit que deux tresses fermées donnent le même nœud si et seulement si elles sont reliées par une suite de mouvement de deux types fixée. Toutefois, ce théorème ne permet pas toujours de décider si deux tresses données produisent ou non le même nœud. Finalement, on presente le polynôme de Jones, c'est-à-dire un moyen d'associer une formule à chaque tresse, de telle façon qu'elle permet de distinguer les nœuds obtenus en fermant des tresses. Ce résultat a valu Jones la médaille Fields en 1984, le prix le plus important en mathématiques. On présente un algorithme pour calculer le polynôme de Jones et on preuve que les nœuds de trèfle gauche et droit ne sont pas équivalents.

Dans le quatrième chapitre on considére des danses et on le relie aux tresses. On peut passer d'une danse à une tresse et vice versa: tresses et danses sont la même chose! Puis, on considère les danses où les danseurs sont divisés en couples qui se tiennent par la main. Ces danses de couples forment un sous-groupe du groupe des tresses, appelé le groupe de Hilden. On décri son générateurs. On introduit une nouvelle fermeture pour les tresses ayant un nombre pair de brins, appelé fermeture plate. Il y a un théorème à la Alexander et un théorème à la Markov pour ce fermeture. Le théorème à la Markov a été démontré par Birman. Il utilise les tresses de Hilden. Finalement on présente un autre problème algorithmique: comment décider si une tresse appartient ou non au sous-groupe de Hilden?

Ester Dalvit - Università degli Studi di Trento - matematita - 2012